\begin{exo}
	Trouver les {\'e}l{\'e}ments propres des matrices
	suivantes:
	$$
	A=\left({\begin{array}{ccc}
		1&1&-1\\
		2&3&-4\\
		4&1&-4
	\end{array}}\right)\quad
	B=\left({\begin{array}{ccc}
		-1&1&1\\
		1&-1&1\\
		1&1&-1
	\end{array}}\right)\quad
	C=\left({\begin{array}{ccc}
		4&1&2\\
		-1&1&-1\\
		-2&-1&0
	\end{array}}\right)
	$$
	$$
	D=\left({\begin{array}{ccc}
		1&1&-2\\
		0&2&-2\\
		1&0&0
	\end{array}}\right).
	$$
	Lesquelles sont diagonalisables?\\

\end{exo}
%=============


\begin{exo}
	Soit
	$
	A=\left({\begin{array}{ccc}
		3&-1&1\\
		0&2&0\\
		1&-1&3
	\end{array}}\right).
	$

	Montrer que $A$ est diagonalisable et trouver une matrice $P$ qui diagonalise
	$A$. En d{\'e}duire $A^n$ pour $n\geq 1$.\\

	On consid{\'e}re les suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ d{\'e}finies par les
	valeurs initiales $u_0=v_0=1$, $w_0=2$ et les relations suivantes :
	$$
	u_{n+1}=3u_n-v_n+w_n\qquad v_{n+1}=2v_n\qquad w_{n+1}=u_n-v_n+3w_n.
	$$
	D{\'e}terminer $u_n$, $v_n$ et $w_n$.\\

\end{exo}
%=============

\begin{exo}
	D{\'e}terminer les {\'e}l{\'e}ments propres de la matrice
	$$
	A = \left({\begin{array}{cccc}
		1&0&4&0\\
		0&1&0&4\\
		1&0&1&0\\
		0&1&0&1
	\end{array}}\right).
	$$
	On consid{\`e}re le syst{\`e}me diff{\'e}rentiel suivant :
	$$
	\dot{x}(t) = x(t) + 4z(t), \qquad \dot{y}(t) = y(t) + 4w(t),
	$$
	$$
	\dot{z}(t) = x(t) + z(t),\qquad \dot{w}(t) = y(t) + w(t).
	$$
	Trouver la solution g{\'e}n{\'e}rale de ce syst{\`e}me, puis la solution particuli{\`e}re
	qui v{\'e}rifie les conditions initiales $x(0)=y(0)=z(0)=0, w(0)=2$.\\

	\noindent {\bf 4.} Soient $a,b\in \RR$ et
	$
	A=\left({\begin{array}{ccc}
		a&a&a\\
		a&a&a\\
		a&a&a
	\end{array}}\right)$,
	$B=\left({\begin{array}{ccc}
		b&a&a\\
		a&b&a\\
		a&a&b
	\end{array}}\right).
	$

	\begin{enumerate}
		\item
			$A$ et $B$ sont-elles diagonalisables ?
		\item
			Quel est le rang de $A$ ?
		\item
			{\`A} l'aide des sommes sur les lignes de $A$, trouver sans calcul une vecteur propre de $A$.
		\item
			D{\'e}terminer les {\'e}l{\'e}ments propres de $A$.
		\item
			D{\'e}terminer sans calcul une valeur propre de $B$.
		\item
			Pour tout $n\geq 1$, d{\'e}terminer $B^n$.\\
	\end{enumerate}

\end{exo}
%=============

\begin{exo}
	Soient $a,b\in \RR$ et
	$
	A=\left({\begin{array}{cc}
		a+b&\sqrt{2}b\\
		\sqrt{2}b&a
	\end{array}}\right)$,
	$B=\left({\begin{array}{ccc}
		a+b&b&0\\
		b&a&b\\
		0&b&a+b
	\end{array}}\right).
	$

	\begin{enumerate}
		\item
			$A$ et $B$ sont-elles diagonalisables ?
		\item
			D{\'e}terminer une base de $\RR^2$ form{\'e}e de vecteurs propres de $A$.
			Que remarque-t-on ? Trouver une base orthonorm{\'e}e de vecteurs propres.
		\item
			D{\'e}terminer une base de $\RR^3$ form{\'e}e de vecteurs propres de $B$.
		\item
			En d{\'e}duire une base de vecteurs propres pour la matrice
			$$\left({\begin{array}{ccccc}
				a+b&\sqrt{2}b&0&0&0\\
				\sqrt{2}b&a&0&0&0\\
				0&0&a+b&b&0\\
				0&0&b&a&b\\
				0&0&0&b&a+b
			\end{array}}\right).
			$$
	\end{enumerate}

\end{exo}
%=============


\begin{exo}
	Soit $a\in \RR$. On consid{\`e}re la matrice
	$$
	A = \left({\begin{array}{cccc}
		1&1&-1&0\\
		0&1&0&a\\
		0&-1&2&0\\
		1&0&1&2
	\end{array}}\right).
	$$
	\noindent - Calculer la polyn{\^o}me caract{\'e}ristique de $A$ et trouver ses
	valeurs propres.\\
	\noindent - D{\'e}terminer les sous-espaces propres de $A$. Pour quelles valeurs
	de $a$, la matrice $A$ est-elle diagonalisable? trigonalisable?\\
	\noindent A partir d'ici on supposera que $a=0$.\\

	\noindent - On consid{\`e}re le syst{\`e}me diff{\'e}rentiel suivant :
	$$
	\dot{x}(t) = x(t) + y(t) - z(t),\qquad \dot{y}(t) = y(t),
	$$
	$$
	\dot{z}(t) = -y(t) + 2z(t),\qquad \dot{w}(t) = x(t) + z(t) + 2w(t).
	$$
	Trouver la solution g{\'e}n{\'e}rale de ce syst{\`e}me, puis la solution particuli{\`e}re
	qui v{\'e}rifie les conditions initiales $x(0)=y(0)=w(0)=0, z(0)=1$.\\


\end{exo}
%=============
